Introdução à Engenharia de Controle: LQR — Feedback de Estado a partir de Prioridades Explícitas

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A Regulação Quadrática Linear (LQR) atribui um custo ao desvio de estado e ao uso de um atuador, derivando então a lei de realimentação de estado que minimiza esse custo para um modelo linear. Ao contrário do PID, que reage diretamente ao erro presente, seu histórico e sua taxa, a LQR pode usar posição, velocidade, ângulo, taxa angular, corrente e eixos acoplados como um único estado. Isso é especialmente útil para a estabilização local de um pêndulo invertido, atitude de aeronaves, robôs de equilíbrio ou braços robóticos.

A LQR não é uma solução mágica para otimização. Se o estado necessário não for medido, um observador é necessário; se a planta sair do intervalo de um modelo linear local, o ganho perde sua eficácia; e se as restrições de entrada ou estado forem cruciais, o MPC (Controle Preditivo por Modelo) geralmente é a melhor opção. Para obter informações sobre os limites de execução do ROS 2, consulte ROS 2 Primer. Para as hipóteses de estimação, consulte Introdução à Fusão de Sensores.

Conclusão prática

A partir de $\dot{x}=Ax+Bu$ e pesos $Q,R$ , o LQR de horizonte infinito produz $u=-Kx$ . $Q$ expressa a intensidade com que o erro de estado é penalizado; $R$ expressa o custo do comando.
O ganho $K$ vem de uma equação de Riccati e sua solução $P$ : $K=R^{-1}B^TP$ . Ele leva em conta o acoplamento modelado em vez de ajustar manualmente um ganho por estado.
A estabilizabilidade de $(A,B)$ e a detectabilidade/observabilidade de $(A,C)$ são pré-requisitos. Ter um sensor não é o mesmo que ser capaz de reconstruir o estado necessário.
O próprio LQR não impõe limites de atuador, folga de colisão ou parada de emergência. Esses pertencem a limites e funções de segurança fora do ganho.

Espaço de estados e fluxo de sinal

Um estado $x$ é o menor conjunto de variáveis que, juntamente com a entrada e a perturbação, determina o comportamento futuro. Um carrinho precisa de posição e velocidade; um corpo giratório precisa de ângulo e velocidade angular; um acionamento eletromecânico pode adicionar corrente. Um modelo linear invariante no tempo é

\dot{x}=Ax+Bu+Ew,\qquad y=Cx+Du+v

onde $u$ é o comando, $w$ perturbação não modelada, $y$ medição e $v$ ruído do sensor. $A$ descreve a evolução do estado, $B$ o caminho de entrada e $C$ o que os sensores revelam.

No diagrama, a junção de soma forma $e=\hat{x}-x_r$ (estado estimado menos referência), e as saídas LQR $u=-Ke$ . Para uma referência zero, isso se reduz ao usual $u=-K\hat{x}$ .

Diagrama: Duskcoil, conceitual em vez de medido. Uma implementação real também possui calibração, carimbos de data/hora, atraso de transporte e atuador laços internos.

Em torno de um equilíbrio $(x_e,u_e)$ , defina os desvios $\tilde{x}=x-x_e$ e $\tilde{u}=u-u_e$ , e então projete em $\dot{\tilde{x}}=A\tilde{x}+B\tilde{u}$ . Esta é uma afirmação local. Um ganho que estabiliza um pêndulo vertical próximo ao ângulo zero não é necessariamente um controlador de recuperação para um pêndulo que caiu muito ou para um sistema cujo atuador está saturado.

Equação de Riccati e custo

O LQR contínuo de horizonte infinito minimiza

J=\int_0^\infty\left(x^TQx+u^TRu\right)dt

com $Q\succeq0$ e $R\succ0$ . Um $Q$ maior torna o erro de estado dispendioso; um $R$ maior torna o esforço dispendioso. Não adicione metros, radianos, metros por segundo e amperes sem Escalonamento. Um ponto de partida útil são os pesos diagonais baseados em valores permitidos $x_{max}$ e $u_{max}$ , como $1/x_{max}^2$ e $1/u_{max}^2$ .

A equação algébrica contínua de Riccati é

A^TP+PA-PBR^{-1}B^TP+Q=0

e sua solução estabilizadora $P$ fornece

K=R^{-1}B^TP,\qquad u=-Kx

Isso fornece o ganho de realimentação $K$ usado pelo controlador.

Sistemas amostrados precisam de um modelo discretizado e uma equação de Riccati discreta. Problemas contínuos de horizonte finito usam uma equação diferencial de Riccati; problemas discretos de horizonte finito usam uma equação de diferenças; problemas discretos de horizonte infinito usam a equação de Riccati diferencial (DARE). As matrizes do modelo contínuo são $A,B$ e o modelo discreto é $x_{k+1}=A_dx_k+B_du_k$ . Aplicar um ganho contínuo como se fosse um controlador discreto, misturar graus com radianos ou ignorar a latência pode transformar um cálculo correto em um dispositivo instável.

Controlabilidade e observabilidade: verifique as condições antes do ganho

A matriz de controlabilidade é

\mathcal{C}=[B\ AB\ A^2B\ \cdots\ A^{n-1}B]

Para um sistema de $n$ estados, a condição de posto completo é $\operatorname{rank}\mathcal{C}=n$ .

Posto completo significa que todos os modos são controláveis; o LQR exige que $(A,B)$ seja estabilizável e $(Q^{1/2},A)$ seja detectável para a solução estabilizadora padrão. Isso é diferente da observabilidade do par de sensores $(C,A)$ . A matriz de observabilidade é

\mathcal{O}=\begin{bmatrix}C\\CA\\\vdots\\CA^{n-1}\end{bmatrix}

A classificação completa significa que o estado pode ser reconstruído a partir do histórico de saída. Consulte Kalman Filter Primer para obter informações sobre o estimador que normalmente é usado em conjunto com o LQR.

Exemplo numérico: estabilizando um integrador duplo

Para um integrador duplo normalizado com $x=[p\ v]^T$ e comando de aceleração $u$ ,

A=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}

Usar $Q=\operatorname{diag}(q_p,q_v)$ resulta em $u=-k_pp-k_vv$ . Ele se assemelha ao PD, mas ambos os ganhos são selecionados conjuntamente a partir do modelo e de $Q,R$ . Tornar $q_p$ grande enquanto $q_v$ é pequeno resulta em aceleração e frenagem bruscas; tornar $R$ muito pequeno resulta em aceleração e frenagem bruscas. O uso do atuador é praticamente gratuito. O ganho resultante é $K=[k_p\ k_v]$ , com $k_p,k_v$ selecionados em conjunto. Os limites físicos $|u|\le u_{max}$ e $|\Delta u|\le r_{max}$ ainda são necessários. Se o recorte for frequente, a modelagem de referência, o redesenho ou o MPC restrito são mais adequados do que chamar o resultado recortado de LQR irrestrito.

Para o integrador duplo contínuo com $Q=I$ e $R=1$ , a mesma derivação fornece $K=[1\ \sqrt{3}]\simeq[1\ 1.732]$ . Este é um exemplo normalizado, não um ganho para copiar para o hardware: recalcule-o com o modelo amostrado, a massa, os limites do atuador e o atraso do sistema real.

Escolhendo entre PID, LQR e MPC

Método	Ajuste forte	Entradas	Tratamento de restrições	Principal precaução
PID	regulação rápida de malha única	erro/histórico/taxa	limitador externo	saturação e ruído
LQR	estabilização linear local multiestado	estado estimado	não explícito por si só	faixa do modelo e saturação
MPC	predição multivariável com limites	estado, modelo, referência	restrições de otimização explícitas	prazo e viabilidade

Projetos aninhados são comuns: malhas PID de corrente/velocidade, estabilização local de atitude ou posição LQR e MPC para trajetória ou restrições. Para rastreamento em vez de regulação fixa, use uma referência variável no tempo, feedforward, ganho programado ou LTV-LQR.

Implementação e segurança do robô

Encoders, IMUs, câmeras e LiDAR publicam em taxas e atrasos diferentes. Não passe mensagens ordenadas por chegada diretamente como um estado. Passe uma estimativa alinhada ao timestamp, confiança/covariância e status de validade. O ciclo de vida e as interfaces de hardware do ROS 2 são descritos em ROS 2 Primer são limites de projeto, não apenas organização de software.

IMU/INS representativa

Imagem: Xsens MTi-G (Kallap85, CC BY-SA 4.0), Wikimedia Commons. É uma imagem representativa do sensor, não um sistema LQR medido ou recomendação de produto.

Monitore o crescimento da covariância do estimador, o tempo limite do sensor, a inconsistência entre o encoder e a IMU, a saturação sustentada e as ultrapassagens do prazo. Se o estado não for mais confiável, não continue emitindo $-K\hat{x}$ . Selecione uma transição específica do sistema — redução gradual da velocidade para zero, desativação do torque, freio mecânico ou parada de emergência — com base na inércia, gravidade e proximidade humana. As afirmações de estabilidade do LQR pressupõem um modelo correto, estado correto e entrada não saturada; proteções independentes devem cobrir as suposições fora dessa comprovação.

Lista de verificação de implementação

Corrija o equilíbrio, as unidades, os sinais, os referenciais e o período discreto.
Meça os resíduos do modelo próximos ao ponto de linearização e defina um envelope operacional.
Verifique numericamente a controlabilidade e a observabilidade/detectabilidade.
Normalize $Q,R$ a partir do estado e comando permitidos; registre cada alteração.
Monitore a saturação, os limites de taxa, estime a frescura e a parada independente fora do LQR.
Teste o atraso, o atrito, a mudança de carga útil e a perda do sensor em baixa saída antes de expandir o envelope.

Referências

Verifique seu entendimento

O que uma penalidade de entrada maior incentiva?

Incentiva a conservação do esforço de controle. Verifique a compensação da resposta e dimensione as variáveis de estado com unidades diferentes adequadamente.