Kontrol Mühendisliği Temel Bilgileri: LQR — Açık Önceliklerden Gelen Durum Geri Bildirimi

Contents — find the section you need

Doğrusal Kare Düzenleme (LQR), durum sapmasına ve bir aktüatör kullanımına bir maliyet atar ve ardından doğrusal bir model için bu maliyeti en aza indiren durum geri besleme yasasını türetir. Mevcut hataya, geçmişine ve oranına doğrudan tepki veren PID'nin aksine, LQR konum, hız, açı, açısal oran, akım ve bağlı eksenleri tek bir durum olarak kullanabilir. Özellikle ters sarkaç, uçak duruşu, dengeleyici robot veya robot kolunun yerel stabilizasyonu için açıktır.

LQR sihirli bir optimumluk anahtarı değildir. Gerekli durum ölçülmemişse, bir gözlemciye ihtiyaç duyulur; tesis yerel doğrusal modelin aralığından çıkarsa, kazanç vaadini kaybeder; ve giriş veya durum kısıtlamaları merkeziyse, MPC genellikle daha iyi bir katmandır. ROS 2 yürütme sınırı için ROS 2 Primer'e bakın; Tahmin varsayımları için Sensör Füzyonu Temel Bilgileri bölümüne bakınız.

Pratik Sonuç

$\dot{x}=Ax+Bu$ ve ağırlıklar $Q,R$ 'den, sonsuz ufuklu LQR, $u=-Kx$ 'yi üretir. $Q$ , durum hatasının ne kadar güçlü bir şekilde cezalandırıldığını ifade eder; $R$ , komut maliyetini ifade eder.
Kazanç $K$ , bir Riccati denkleminden ve çözümü $P$ : $K=R^{-1}B^TP$ 'den gelir. Bu, her durum için manuel olarak bir kazanç ayarlamak yerine modellenmiş bağlantıyı hesaba katar.
$(A,B)$ 'in kararlılığı ve $(A,C)$ 'un algılanabilirliği/gözlemlenebilirliği ön koşullardır. Bir sensöre sahip olmak, gerekli durumu yeniden oluşturabilmekle aynı şey değildir.
LQR'nin kendisi aktüatör limitlerini, çarpışma mesafesini veya acil durdurmayı uygulamaz. Bunlar, kazanç dışındaki limitlere ve güvenlik fonksiyonlarına aittir.

Durum uzayı ve sinyal akışı

Bir durum $x$ , giriş ve bozulma ile birlikte gelecekteki davranışı belirleyen en küçük değişken kümesidir. Bir araba konum ve hıza ihtiyaç duyar; dönen bir cisim açı ve açısal hıza ihtiyaç duyar; bir elektromekanik tahrik akım ekleyebilir. Doğrusal zamanla değişmeyen bir model şöyledir:

\dot{x}=Ax+Bu+Ew,\qquad y=Cx+Du+v

burada $u$ komut, $w$ modellenmemiş bozulma, $y$ ölçüm ve $v$ sensör gürültüsüdür. $A$ durum evrimini, $B$ giriş yolunu ve $C$ sensörlerin ortaya koyduğunu açıklar.

Şemada, toplama noktası $e=\hat{x}-x_r$ (tahmini durum eksi referans) oluşturur ve LQR çıkışı $u=-Ke$ 'yi üretir. Sıfır referans için bu, olağan $u=-K\hat{x}$ 'e indirgenir.

Diyagram: Alacakaranlık bobini, ölçülmekten ziyade kavramsal. Gerçek bir uygulamada ayrıca kalibrasyon, zaman damgaları, taşıma gecikmesi ve aktüatör iç döngüleri de bulunur.

Bir denge noktası $(x_e,u_e)$ etrafında, sapmaları $\tilde{x}=x-x_e$ ve $\tilde{u}=u-u_e$ tanımlayın, ardından $\dot{\tilde{x}}=A\tilde{x}+B\tilde{u}$ üzerinde tasarım yapın. Bu yerel bir ifadedir. Sıfır açıya yakın dik bir sarkaçı dengeleyen bir kazanç, çok uzağa düşmüş bir sarkaç veya aktüatörü doymuş bir sistem için mutlaka bir kurtarma kontrolörü değildir.

Riccati denklemi ve maliyet

Sürekli sonsuz ufuklu LQR,

J=\int_0^\infty\left(x^TQx+u^TRu\right)dt

'yi en aza indirir

$Q\succeq0$ ve $R\succ0$ ile. Daha büyük $Q$ durum hatasını pahalı hale getirir; daha büyük $R$ çabayı pahalı hale getirir. Ölçeklendirme yapmadan metre, radyan, metre/saniye ve amper eklemeyin. Yararlı bir başlangıç, $x_{max}$ ve $u_{max}$ izin verilen değerlere dayalı diyagonal ağırlıklardır, örneğin $1/x_{max}^2$ ve $1/u_{max}^2$ .

Sürekli cebirsel Riccati denklemi şöyledir:

A^TP+PA-PBR^{-1}B^TP+Q=0

ve dengeleyici çözümü $P$ şunu verir:

K=R^{-1}B^TP,\qquad u=-Kx

Bu, kontrolör tarafından kullanılan geri besleme kazancını $K$ verir.

Örneklenmiş sistemler, ayrıklaştırılmış bir modele ve ayrık bir Riccati denklemine ihtiyaç duyar. Sürekli sonlu ufuklu problemler diferansiyel bir Riccati denklemi kullanır; ayrık sonlu ufuklu problemler bir fark denklemi kullanır; ayrık Sonsuz ufuklu problemler DARE'yi kullanır. Sürekli model matrisleri $A,B$ , ayrık model ise $x_{k+1}=A_dx_k+B_du_k$ 'dir. Sürekli bir kazancı ayrık bir kontrolör gibi uygulamak, dereceleri radyanlarla karıştırmak veya gecikmeyi göz ardı etmek, aksi takdirde doğru bir hesaplamayı kararsız bir cihaza dönüştürebilir.

Kontrol edilebilirlik ve gözlemlenebilirlik: kazançtan önce koşulları kontrol edin

Kontrol edilebilirlik matrisi şöyledir:

\mathcal{C}=[B\ AB\ A^2B\ \cdots\ A^{n-1}B]

$n$ durumlu bir sistem için tam sıralı koşul $\operatorname{rank}\mathcal{C}=n$ 'tür.

Tam sıralılık, her modun kontrol edilebilir olduğu anlamına gelir; LQR, standart dengeleyici çözüm için $(A,B)$ 'in kararlı hale getirilebilir ve $(Q^{1/2},A)$ 'nın tespit edilebilir olmasını gerektirir. Bu, sensör çifti $(C,A)$ 'nin gözlemlenebilirliğinden farklıdır. Gözlemlenebilirlik matrisi şöyledir:

\mathcal{O}=\begin{bmatrix}C\\CA\\\vdots\\CA^{n-1}\end{bmatrix}

Tam sıralı olması, durumun çıktı geçmişinden yeniden oluşturulabileceği anlamına gelir. LQR ile normalde eşleştirilen tahminleyici için Kalman Filtresi Temel Bilgileri bölümüne bakın.

Sayısal örnek: Çift entegratörün dengelenmesi

$x=[p\ v]^T$ ve hızlandırma komutu $u$ ile normalize edilmiş bir çift entegratör için,

A=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}

$Q=\operatorname{diag}(q_p,q_v)$ kullanmak $u=-k_pp-k_vv$ verir. PD'ye benzer, ancak her iki kazanç da model ve $Q,R$ 'ten birlikte seçilir. $q_p$ 'i büyük yaparken $q_v$ küçük olduğunda keskin hızlanma ve frenleme meydana gelir; $R$ 'i çok büyük yapmak Küçük bir örnekte aktüatör kullanımının neredeyse ücretsiz olduğu belirtiliyor. Elde edilen kazanç $K=[k_p\ k_v]$ olup, $k_p,k_v$ birlikte seçilmiştir. Fiziksel sınırlar $|u|\le u_{max}$ ve $|\Delta u|\le r_{max}$ hala gereklidir. Kırpma sık sık meydana geliyorsa, kırpılmış sonucu kısıtlanmamış LQR olarak adlandırmaktan ziyade referans şekillendirme, yeniden tasarım veya kısıtlanmış MPC daha dürüsttür.

$Q=I$ ve $R=1$ ile sürekli çift entegratör için aynı türetme $K=[1\ \sqrt{3}]\simeq[1\ 1.732]$ 'ü verir. Bu, donanıma kopyalanacak bir kazanç değil, normalize edilmiş bir örnektir: gerçek sistemin örneklenmiş modeli, kütlesi, aktüatör sınırları ve gecikmesiyle yeniden hesaplayın.

PID, LQR ve MPC arasında seçim yapma

Yöntem	Güçlü uyum	Girişler	Kısıtlama yönetimi	Ana uyarı
PID	hızlı tek döngülü regülasyon	hata/geçmiş/oran	harici sınırlayıcı	doygunluk ve gürültü
LQR	yerel doğrusal çok durumlu stabilizasyon	tahmini durum	kendi başına açık değil	model aralığı ve doygunluk
MPC	limitli çok değişkenli tahmin	durum, model, referans	açık optimizasyon kısıtlamaları	son tarih ve uygulanabilirlik

İç içe tasarımlar yaygındır: PID akım/hız döngüleri, LQR yerel tutum veya konum stabilizasyonu ve yörünge veya kısıtlamalar için MPC. Sabit regülasyon yerine izleme için, zamanla değişen bir referans, ileri besleme, kazanç zamanlaması veya LTV-LQR kullanın.

Robot uygulaması ve güvenliği

Kodlayıcılar, IMU'lar, kameralar ve LiDAR farklı oranlarda ve gecikmelerde yayın yapar. Varış sırasına göre sıralanmış mesajları doğrudan durum olarak iletmeyin. Zaman damgasına göre hizalanmış bir tahmin, güven/kovaryans ve geçerlilik durumu iletin. ROS 2 yaşam döngüsü ve donanım arayüzleri [ROS 2]'de açıklanmıştır. Başlangıç sadece yazılım organizasyonu değil, tasarım sınırlarıdır.

Temsili IMU/INS

Resim: Xsens MTi-G (Kallap85, CC BY-SA 4.0), Wikimedia Commons. Bu, ölçülmüş bir LQR sistemi veya ürün önerisi değil, temsili bir sensör görüntüsüdür.

Tahminleyici kovaryans büyümesini, sensör zaman aşımını, kodlayıcı ve IMU arasındaki tutarsızlığı, sürekli doygunluğu ve zaman aşımını izleyin. Durum artık güvenilir değilse, yapmayın. $-K\hat{x}$ komutunu çalıştırmaya devam edin. Atalet, yerçekimi ve insan yakınlığına bağlı olarak sisteme özgü bir geçiş seçin—sıfıra kademeli hız düşürme, tork devre dışı bırakma, mekanik fren veya acil durdurma. LQR kararlılık iddiaları, doğru bir model, doğru durum ve doymamış giriş varsayar; bağımsız korumalar, bu kanıtın dışındaki varsayımları kapsamalıdır.

Uygulama kontrol listesi

Dengeyi, birimleri, işaretleri, çerçeveleri ve ayrık periyodu düzeltin.
Doğrusallaştırma noktasına yakın model kalıntılarını ölçün ve bir çalışma zarfı tanımlayın.
Kontrol edilebilirliği ve gözlemlenebilirliği/tespit edilebilirliği sayısal olarak kontrol edin.
$Q,R$ 'i izin verilen durum ve komuttan normalleştirin; her değişikliği kaydedin.
Doygunluğu, hız sınırlarını izleyin, tazeliği tahmin edin ve LQR dışında bağımsız durdurmayı kontrol edin.
Zarfı genişletmeden önce düşük çıkışta gecikmeyi, sürtünmeyi, yük değişimini ve sensör kaybını test edin.

Referanslar

Anlayışınızı Kontrol Edin

Daha büyük bir girdi cezası neyi teşvik eder?

Kontrol çabasını korumayı teşvik eder. Yanıt dengesini kontrol edin ve durum değişkenlerini farklı birimlerle uygun şekilde ölçeklendirin.