Pengantar Teknik Kontrol: LQR — Umpan Balik Keadaan dari Prioritas Eksplisit

Contents — find the section you need

Regulasi Kuadratik Linier (LQR) menetapkan biaya untuk penyimpangan keadaan dan penggunaan aktuator, kemudian menurunkan hukum umpan balik keadaan yang meminimalkan biaya tersebut untuk model linier. Tidak seperti PID, yang bereaksi langsung terhadap kesalahan saat ini, riwayatnya, dan lajunya, LQR dapat menggunakan posisi, kecepatan, sudut, laju sudut, arus, dan sumbu yang terhubung sebagai satu keadaan. Hal ini sangat jelas untuk stabilisasi lokal pendulum terbalik, sikap pesawat terbang, robot penyeimbang, atau lengan robot.

LQR bukanlah saklar optimalitas ajaib. Jika keadaan yang dibutuhkan tidak terukur, diperlukan pengamat; jika sistem keluar dari jangkauan model linier lokal, penguatan kehilangan janjinya; dan jika kendala input atau keadaan bersifat sentral, MPC seringkali merupakan lapisan yang lebih baik. Untuk batasan eksekusi ROS 2, lihat ROS 2 Primer; Untuk asumsi estimasi, lihat Panduan Penggabungan Sensor.

Kesimpulan Praktis

Dari $\dot{x}=Ax+Bu$ dan bobot $Q,R$ , LQR horizon tak terbatas menghasilkan $u=-Kx$ . $Q$ menyatakan seberapa kuat kesalahan keadaan dihukum; $R$ menyatakan biaya perintah.
Gain $K$ berasal dari persamaan Riccati dan solusinya $P$ : $K=R^{-1}B^TP$ . Ini memperhitungkan kopling yang dimodelkan alih-alih menyetel satu gain per keadaan secara manual.
Stabilisasi $(A,B)$ dan deteksi/observabilitas $(A,C)$ adalah prasyarat. Memiliki sensor tidak sama dengan mampu merekonstruksi keadaan yang dibutuhkan.
LQR sendiri tidak memberlakukan batasan aktuator, jarak aman tabrakan, atau penghentian darurat. Itu termasuk dalam batasan dan fungsi keselamatan di luar penguatan.

Ruang keadaan dan aliran sinyal

Suatu keadaan $x$ adalah kumpulan variabel terkecil yang, bersama dengan input dan gangguan, menentukan perilaku di masa depan. Sebuah gerobak membutuhkan posisi dan kecepatan; sebuah benda berputar membutuhkan sudut dan kecepatan sudut; sebuah penggerak elektromekanik dapat menambahkan arus. Model linier waktu-invarian adalah

\dot{x}=Ax+Bu+Ew,\qquad y=Cx+Du+v

di mana $u$ adalah perintah, $w$ gangguan yang tidak dimodelkan, $y$ pengukuran, dan $v$ derau sensor. $A$ menggambarkan evolusi keadaan, $B$ jalur input, dan $C$ apa yang diungkapkan sensor.

Dalam diagram, sambungan penjumlahan membentuk $e=\hat{x}-x_r$ (keadaan yang diperkirakan dikurangi referensi), dan LQR menghasilkan $u=-Ke$ . Untuk referensi nol, ini disederhanakan menjadi $u=-K\hat{x}$ yang biasa.

Diagram: Duskcoil, konseptual dan bukan terukur. Implementasi nyata juga memiliki kalibrasi, stempel waktu, penundaan transportasi, dan loop dalam aktuator.

Di sekitar titik keseimbangan $(x_e,u_e)$ , definisikan penyimpangan $\tilde{x}=x-x_e$ dan $\tilde{u}=u-u_e$ , lalu rancang pada $\dot{\tilde{x}}=A\tilde{x}+B\tilde{u}$ . Ini adalah pernyataan lokal. Penguatan yang menstabilkan pendulum tegak di dekat sudut nol tidak selalu merupakan pengontrol pemulihan untuk pendulum yang telah jatuh jauh atau sistem yang aktuatornya jenuh.

Persamaan Riccati dan biaya

LQR horizon tak terbatas kontinu meminimalkan

J=\int_0^\infty\left(x^TQx+u^TRu\right)dt

dengan $Q\succeq0$ dan $R\succ0$ . $Q$ yang lebih besar membuat kesalahan keadaan menjadi mahal; $R$ yang lebih besar membuat upaya menjadi mahal. Jangan menambahkan meter, radian, meter per detik, dan ampere tanpa penskalaan. Awal yang berguna adalah bobot diagonal berdasarkan nilai yang diizinkan $x_{max}$ dan $u_{max}$ , seperti $1/x_{max}^2$ dan $1/u_{max}^2$ .

Riccati aljabar kontinu Persamaannya adalah

A^TP+PA-PBR^{-1}B^TP+Q=0

dan solusi penstabilnya $P$ memberikan

K=R^{-1}B^TP,\qquad u=-Kx

Ini memberikan penguatan umpan balik $K$ yang digunakan oleh pengontrol.

Sistem yang disampel memerlukan model diskrit dan persamaan Riccati diskrit. Masalah horizon terbatas kontinu menggunakan persamaan Riccati diferensial; masalah horizon terbatas diskrit menggunakan persamaan perbedaan; masalah horizon tak terbatas diskrit menggunakan DARE. Matriks model kontinu adalah $A,B$ , dan model diskrit adalah $x_{k+1}=A_dx_k+B_du_k$ . Menerapkan penguatan kontinu seolah-olah itu adalah pengontrol diskrit, mencampur derajat dengan radian, atau mengabaikan latensi dapat mengubah perhitungan yang seharusnya benar menjadi perangkat yang tidak stabil.

Kontrolabilitas dan observabilitas: periksa kondisi sebelum penguatan

Matriks kontrolabilitas adalah

\mathcal{C}=[B\ AB\ A^2B\ \cdots\ A^{n-1}B]

Untuk sistem dengan $n$ keadaan, kondisi peringkat penuh adalah $\operatorname{rank}\mathcal{C}=n$ .

Peringkat penuh berarti setiap mode dapat dikendalikan; LQR membutuhkan $(A,B)$ untuk dapat distabilkan dan $(Q^{1/2},A)$ untuk dapat dideteksi untuk solusi stabilisasi standar. Ini berbeda dari observabilitas pasangan sensor $(C,A)$ . Matriks observabilitasnya adalah

\mathcal{O}=\begin{bmatrix}C\\CA\\\vdots\\CA^{n-1}\end{bmatrix}

Peringkat penuh berarti keadaan dapat direkonstruksi dari riwayat keluaran. Lihat Panduan Filter Kalman untuk estimator yang biasanya dipasangkan dengan LQR.

Contoh numerik: menstabilkan integrator ganda

Untuk integrator ganda yang dinormalisasi dengan $x=[p\ v]^T$ dan perintah akselerasi $u$ ,

A=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}

Menggunakan $Q=\operatorname{diag}(q_p,q_v)$ menghasilkan $u=-k_pp-k_vv$ . Ini menyerupai PD, tetapi kedua gain dipilih bersama dari model dan $Q,R$ . Membuat $q_p$ besar sementara $q_v$ kecil akan menghasilkan akselerasi dan pengereman yang tajam; membuat $R$ terlalu kecil berarti penggunaan aktuator hampir gratis. Gain yang dihasilkan adalah $K=[k_p\ k_v]$ , dengan $k_p,k_v$ dipilih bersama. Batasan fisik $|u|\le u_{max}$ dan $|\Delta u|\le r_{max}$ masih diperlukan. Jika pemotongan sering terjadi, pembentukan referensi, desain ulang, atau MPC terbatas lebih jujur daripada menyebut hasil pemotongan sebagai LQR tak terbatas.

Untuk integrator ganda kontinu dengan $Q=I$ dan $R=1$ , derivasi yang sama menghasilkan $K=[1\ \sqrt{3}]\simeq[1\ 1.732]$ . Ini adalah contoh yang dinormalisasi, bukan keuntungan untuk disalin ke perangkat keras: hitung ulang dengan model yang diambil sampelnya, massa, batasan aktuator, dan penundaan sistem nyata.

Memilih antara PID, LQR, dan MPC

Metode	Kecocokan kuat	Masukan	Penanganan kendala	Perhatian utama
PID	regulasi loop tunggal cepat	kesalahan/riwayat/laju	pembatas eksternal	windup dan noise
LQR	stabilisasi multistate linier lokal	keadaan yang diperkirakan	tidak eksplisit dengan sendirinya	rentang dan saturasi model
MPC	prediksi multivariabel dengan batasan	keadaan, model, referensi	kendala optimasi eksplisit	tenggat waktu dan kelayakan

Desain bersarang umum: PID Loop arus/kecepatan, stabilisasi sikap atau posisi lokal LQR, dan MPC untuk lintasan atau batasan. Untuk pelacakan daripada pengaturan tetap, gunakan referensi yang berubah terhadap waktu, umpan maju, penjadwalan penguatan, atau LTV-LQR.

Implementasi dan keselamatan robot

Encoder, IMU, kamera, dan LiDAR menerbitkan data dengan kecepatan dan penundaan yang berbeda. Jangan mengirimkan pesan yang diurutkan berdasarkan kedatangan secara langsung sebagai status. Kirimkan estimasi yang diselaraskan dengan stempel waktu, kepercayaan/kovarians, dan status validitas. Siklus hidup ROS 2 dan antarmuka perangkat keras yang dijelaskan dalam ROS 2 Primer adalah batasan desain, bukan hanya organisasi perangkat lunak.

Representatif IMU/INS

Gambar: Xsens MTi-G (Kallap85, CC BY-SA 4.0), Wikimedia Commons. Ini adalah gambar sensor representatif, bukan sistem LQR terukur atau rekomendasi produk.

Pantau pertumbuhan kovariansi estimator, waktu habis sensor, inkonsistensi antara encoder dan IMU, saturasi berkelanjutan, dan keterlambatan. Jika status tidak lagi dapat dipercaya, jangan terus mengeluarkan $-K\hat{x}$ . Pilih transisi spesifik sistem—kecepatan bertahap ke nol, penonaktifan torsi, rem mekanis, atau E-stop—berdasarkan inersia, gravitasi, dan kedekatan manusia. Klaim stabilitas LQR mengasumsikan model yang benar, status yang benar, dan input yang tidak jenuh; perlindungan independen harus mencakup asumsi di luar bukti tersebut.

Daftar periksa implementasi

Perbaiki keseimbangan, satuan, tanda, bingkai, dan diskrit periode.
Ukur residual model di dekat titik linearisasi dan tentukan amplop operasi.
Periksa secara numerik kemampuan kendali dan kemampuan pengamatan/deteksi.
Normalisasi $Q,R$ dari keadaan dan perintah yang diizinkan; catat setiap perubahan.
Pantau saturasi, batas laju, perkirakan kesegaran, dan penghentian independen di luar LQR.
Uji penundaan, gesekan, perubahan muatan, dan kehilangan sensor pada output rendah sebelum memperluas amplop.

Referensi

Periksa milik Anda pemahaman

Apa yang didorong oleh penalti input yang lebih besar?

Hal ini mendorong penghematan upaya kontrol. Periksa trade-off respons dan skalakan variabel keadaan dengan satuan yang berbeda secara tepat.