Introduzione all'ingegneria del controllo: LQR - Feedback di stato da priorità esplicite

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La regolazione lineare quadratica (LQR) assegna un costo alla deviazione di stato e all'utilizzo di un attuatore, quindi deriva la legge di retroazione di stato che minimizza tale costo per un modello lineare. A differenza del PID, che reagisce direttamente all'errore attuale, alla sua storia e alla sua velocità, la LQR può utilizzare posizione, velocità, angolo, velocità angolare, corrente e assi accoppiati come un unico stato. È particolarmente utile per la stabilizzazione locale di un pendolo invertito, l'assetto di un aeromobile, il bilanciamento di un robot o di un braccio robotico.

La LQR non è una soluzione magica per l'ottimalità. Se lo stato richiesto non è misurato, è necessario un osservatore; se il sistema esce dal range di un modello lineare locale, il guadagno perde la sua efficacia; e se i vincoli di ingresso o di stato sono fondamentali, il controllo predittivo basato su modello (MPC) è spesso il livello migliore. Per i limiti di esecuzione di ROS 2, vedere ROS 2 Primer; Per le ipotesi di stima, vedere Introduzione alla fusione di sensori.

Conclusione pratica

Da $\dot{x}=Ax+Bu$ e dai pesi $Q,R$ , l'algoritmo LQR a orizzonte infinito produce $u=-Kx$ . $Q$ esprime quanto viene penalizzato l'errore di stato; $R$ esprime il costo del comando.
Il guadagno $K$ deriva da un'equazione di Riccati e la sua soluzione $P$ : $K=R^{-1}B^TP$ . Tiene conto dell'accoppiamento modellato invece di regolare manualmente un guadagno per stato.
La stabilizzabilità di $(A,B)$ e la rilevabilità/osservabilità di $(A,C)$ sono prerequisiti. Avere un sensore non equivale a essere in grado di ricostruire lo stato richiesto.

L'LQR di per sé non impone limiti agli attuatori, distanze di sicurezza dalle collisioni o arresti di emergenza. Questi aspetti appartengono a limiti e funzioni di sicurezza esterni al guadagno.

Spazio degli stati e flusso del segnale

Uno stato $x$ è la più piccola collezione di variabili che, insieme all'input e al disturbo, determina il comportamento futuro. Un carrello necessita di posizione e velocità; un corpo rotante necessita di angolo e velocità angolare; un azionamento elettromeccanico può aggiungere corrente. Un modello lineare tempo-invariante è

\dot{x}=Ax+Bu+Ew,\qquad y=Cx+Du+v

dove $u$ è il comando, $w$ il disturbo non modellato, $y$ la misurazione e $v$ il rumore del sensore. $A$ descrive l'evoluzione dello stato, $B$ il percorso di ingresso e $C$ ciò che rivelano i sensori.

Nel diagramma, il nodo di somma forma $e=\hat{x}-x_r$ (stato stimato meno riferimento) e l'uscita LQR è $u=-Ke$ . Per un riferimento nullo, questo si riduce al solito $u=-K\hat{x}$ .

Intorno a un punto di equilibrio $(x_e,u_e)$ , definire le deviazioni $\tilde{x}=x-x_e$ e $\tilde{u}=u-u_e$ , quindi progettare su $\dot{\tilde{x}}=A\tilde{x}+B\tilde{u}$ . Questa è un'affermazione locale. Un guadagno che stabilizza un pendolo verticale vicino all'angolo zero non è necessariamente un controllore di recupero per un pendolo che è caduto lontano o per un sistema il cui attuatore è saturo.

Equazione di Riccati e costo

LQR continuo a orizzonte infinito minimizza

J=\int_0^\infty\left(x^TQx+u^TRu\right)dt

con $Q\succeq0$ e $R\succ0$ . Un valore maggiore di $Q$ rende l'errore di stato oneroso; un valore maggiore di $R$ rende lo sforzo oneroso. Non sommare metri, radianti, metri al secondo e ampere senza scalare. Un buon punto di partenza sono i pesi diagonali basati sui valori ammissibili $x_{max}$ e $u_{max}$ , come $1/x_{max}^2$ e $1/u_{max}^2$ .

L'equazione algebrica continua di Riccati è

A^TP+PA-PBR^{-1}B^TP+Q=0

e la sua soluzione stabilizzante $P$ fornisce

K=R^{-1}B^TP,\qquad u=-Kx

Questo fornisce il guadagno di retroazione $K$ utilizzato dal controllore.

I sistemi campionati necessitano di un modello discretizzato e di un'equazione di Riccati discreta. I problemi continui a orizzonte finito utilizzano un'equazione differenziale di Riccati; i problemi discreti a orizzonte finito utilizzano un'equazione alle differenze finite; i problemi discreti a orizzonte infinito utilizzano l'equazione DARE. Le matrici del modello continuo sono $A,B$ e il modello discreto è $x_{k+1}=A_dx_k+B_du_k$ . Applicare un guadagno continuo come se fosse un controllore discreto, mescolare gradi con radianti o ignorare la latenza può trasformare un calcolo altrimenti corretto in un dispositivo instabile.

Controllabilità e osservabilità: verificare le condizioni prima del guadagno

La matrice di controllabilità è

\mathcal{C}=[B\ AB\ A^2B\ \cdots\ A^{n-1}B]

Per un sistema a $n$ stati, la condizione di rango massimo è $\operatorname{rank}\mathcal{C}=n$ .

Rango massimo significa che ogni modo è controllabile; LQR richiede che $(A,B)$ sia stabilizzabile e $(Q^{1/2},A)$ deve essere rilevabile per la soluzione di stabilizzazione standard. Questo è distinto dall'osservabilità della coppia di sensori $(C,A)$ . La matrice di osservabilità è

\mathcal{O}=\begin{bmatrix}C\\CA\\\vdots\\CA^{n-1}\end{bmatrix}

Rango pieno significa che lo stato può essere ricostruito dalla cronologia di uscita. Vedere Kalman Filter Primer per l'estimatore che viene normalmente abbinato a LQR.

Esempio numerico: stabilizzazione di un doppio integratore

Per un doppio integratore normalizzato con $x=[p\ v]^T$ e comando di accelerazione $u$ ,

A=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}

Usando $Q=\operatorname{diag}(q_p,q_v)$ si ottiene $u=-k_pp-k_vv$ . È simile a PD, ma entrambi i guadagni vengono selezionati congiuntamente da modello e $Q,R$ . Rendere $q_p$ grande mentre $q_v$ è piccolo provoca accelerazioni e frenate brusche; rendere $R$ troppo piccolo significa che l'utilizzo dell'attuatore è quasi gratuito. Il guadagno risultante è $K=[k_p\ k_v]$ , con $k_p,k_v$ selezionati insieme. I limiti fisici $|u|\le u_{max}$ e $|\Delta u|\le r_{max}$ sono ancora necessari. Se il clipping è frequente, la modellazione del riferimento, la riprogettazione o l'MPC vincolato sono più onesti che chiamare il risultato troncato LQR non vincolato.

Per il doppio integratore continuo con $Q=I$ e $R=1$ , la stessa derivazione fornisce $K=[1\ \sqrt{3}]\simeq[1\ 1.732]$ . Questo è un esempio normalizzato, non un guadagno da copiare in Hardware: ricalcolare con il modello campionato, la massa, i limiti dell'attuatore e il ritardo del sistema reale.

Scelta tra PID, LQR e MPC

Metodo	Adattamento forte	Ingressi	Gestione dei vincoli	Avvertenza principale
PID	regolazione rapida a singolo anello	errore/storico/frequenza	limitatore esterno	windup e rumore
LQR	stabilizzazione multistato lineare locale	stato stimato	non esplicito di per sé	intervallo del modello e saturazione
MPC	predizione multivariabile con limiti	stato, modello, riferimento	vincoli di ottimizzazione espliciti	scadenza e fattibilità

Le architetture annidate sono comuni: anelli PID corrente/velocità, LQR stabilizzazione locale di assetto o posizione e MPC per traiettoria o vincoli. Per il tracciamento anziché la regolazione fissa, utilizzare un riferimento variabile nel tempo, feedforward, gain scheduling o LTV-LQR.

Implementazione e sicurezza del robot

Encoder, IMU, telecamere e LiDAR pubblicano a velocità e con ritardi diversi. Non trasmettere messaggi ordinati in base all'arrivo direttamente come stato. Trasmetti una stima allineata al timestamp, la confidenza/covarianza e lo stato di validità. Il ciclo di vita di ROS 2 e le interfacce hardware descritte in ROS 2 Primer rappresentano i limiti di progettazione, non solo l'organizzazione del software.

IMU/INS rappresentativa

Immagine: Xsens MTi-G (Kallap85, CC BY-SA 4.0), Wikimedia Commons. Si tratta di un sensore rappresentativo immagine, non un sistema LQR misurato o una raccomandazione di prodotto.

Monitorare la crescita della covarianza dello stimatore, il timeout del sensore, l'incoerenza tra encoder e IMU, la saturazione prolungata e il superamento delle scadenze. Se lo stato non è più affidabile, non continuare a emettere $-K\hat{x}$ . Selezionare una transizione specifica del sistema (velocità a rampa fino a zero, disattivazione della coppia, freno meccanico o arresto di emergenza) in base all'inerzia, alla gravità e alla prossimità umana. Le affermazioni sulla stabilità LQR presuppongono un modello corretto, uno stato corretto e un input non saturo; le protezioni indipendenti devono coprire le ipotesi al di fuori di tale dimostrazione.

Lista di controllo per l'implementazione

Fissare l'equilibrio, le unità, i segni, i frame e il periodo discreto.
Misurare i residui del modello vicino al punto di linearizzazione e definire un inviluppo operativo.
Verificare numericamente la controllabilità e l'osservabilità/rilevabilità.
Normalizzare $Q,R$ dallo stato e dal comando consentiti; registrare ogni cambiamento.
Monitorare la saturazione, i limiti di velocità, stimare la freschezza e l'arresto indipendente al di fuori di LQR.
Testare il ritardo, l'attrito, la variazione del carico utile e la perdita del sensore a bassa potenza prima di espandere l'inviluppo.

Riferimenti

Verifica la tua comprensione

Cosa incoraggia una maggiore penalità di input?

Incoraggia a conservare lo sforzo di controllo. Verifica il compromesso di risposta e scala le variabili di stato con unità diverse in modo appropriato.