MPC 实验室——在时域和转向限制内重新求解曲率序列

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边观察预测路径边运行

运行"直线 · 1 m 偏移"并进行回放。每一时刻的绿色虚线是该时刻求解得到的预测路径。MPC 在整个时域内决定完整的曲率序列，但只将第一个值施加到车辆上，并在下一周期（0.05 s 后）重新求解全部内容。预测路径与实际路径之所以不同，既是因为预测模型是一种近似，也是因为后续周期会更新计划。

将结果保存为 A，然后运行"短时域（3 步）"或"长时域（30 × 0.2 s）"。在权重相同的情况下，控制器向前看的距离会改变转向的累积方式。以秒为单位的时域长度等于步数 N 乘以步长 Δt。

预测模型与优化问题

状态量为相对于路径的横向误差 e_y（左为正）和航向误差 e_ψ。预测使用为 MPC 简化后的线性模型。

e_{y,k+1} = e_{y,k} + v_k\,\Delta t\,e_{\psi,k},\qquad e_{\psi,k+1} = e_{\psi,k} + v_k\,\Delta t\,(u_k - \kappa_k)

u_k 为指令路径曲率 [1/m]，κ_k 为预测位置处的路径曲率，v_k 为使用与车辆相同的速度伺服预测得到的速度。转向角为 δ=atan(L u)，因此转向限制 |δ|≤δ_max 恰好等价于曲率边界 |u|≤tan(δ_max)/L。成本函数

J = \sum_{k} q_y e_{y,k}^2 + q_\psi e_{\psi,k}^2 + r\,(u_k-\kappa_k)^2 + r_\Delta\,(u_k-u_{k-1})^2

给出了一个仅含曲率边界的二次规划问题。u_{-1} 是上一周期实际施加的曲率。r 对偏离路径曲率的程度加权，r_Δ 对曲率快速变化加权。预测采用小角度线性模型，而车辆则是非线性的共用自行车模型。这一差异正是本实验所要展示的内容之一。

求解器，以及未收敛时会发生什么

该二次规划问题使用投影牛顿法（Bertsekas 1982）求解。固定在边界上的变量保持不变，对其余变量计算牛顿方向，再进行线搜索并投影回边界内。当投影梯度残差不超过 1e-6 [1/m] 时，视为求解已收敛。求解以上一周期的解作为起点，因此通常只需几次迭代即可收敛。

若在达到迭代次数上限时仍未收敛，可以选择三种处理方式之一。"使用可行迭代值"会施加该迭代值（它满足边界条件），并将该周期记为未收敛。"保持上一指令"会沿用上一次的转向角，并将该周期记为保持状态。"停止"会以失败（controller_failed）结束本次运行并显示原因。可使用限制为单次迭代的三个预设进行比较。由于约束仅为边界条件，该问题永远不会不可行（总是存在解）。由硬状态约束引起的不可行性不在本实验的讨论范围内。

约束、权重与速度

"8 m/s · 默认权重"能够完成运行，但"8 m/s · 小速率权重（发散）"会偏离路径。车辆将转向变化率限制为 0.8 rad/s，但本优化问题并未将该限制纳入约束。当速率权重 r_Δ 较小时，计划会假设车辆能够跟上快速的转向变化，而实际上车辆无法做到，于是振荡不断增大。这是模型中缺失约束导致闭环被破坏的一个例子。"高横向权重"同样展示了急剧修正撞上转向变化率限制的情况。

"急弯（无法跟随）"是一条半径 5 m 的路径，车辆无法跟随。在相同条件下，Stanley 实验室同样会偏离路径。更换控制律无法突破车辆本身及其约束所设定的限制。

共用车辆与比较指标

被控对象是与 PP、APP、RPP 和 Stanley 共用的仅前进的后轴运动学自行车模型：时间步长 0.05 s，最长 30 s，速度限制 8 m/s，加速度 ±2 m/s²，转向变化率 0.8 rad/s。速度并非由 MPC 优化得到，而是来自与其他实验室相同的速度伺服 a=2(目标速度−实际速度)。本实验室的 MPC 仅处理转向。

横向误差、航向误差、RMS 以及终点判定均使用与其他实验室共用的定义，基于后轴数据。经过终点并不意味着停车或泊车。请勿仅凭 RMS 对耗时不同或完成状态不同的运行进行排名。

关于计算耗时

求解器耗时是此浏览器中 Python（Pyodide）的墙钟时间，会随设备、浏览器以及同时运行的其他程序而变化，并不能说明车载计算机上的计算耗时，也不能说明是否满足控制截止时间。性能评估需要在目标硬件和实现（例如 OSQP 等专用求解器）上测量最坏情况下的求解时间。

建议的操作顺序

回放标称运行，比较预测路径与实际路径。
改变时域步数和步长，比较转向的累积过程和横向误差。
使用两个 8 m/s 预设，观察速率权重与转向变化率限制之间的关系。
使用三个单次迭代预设，比较未收敛周期的处理方式。

全部运行都在浏览器中进行，支持回放、逐帧步进、A/B 对比、重置、分享和 JSON 下载。