Introduction à l'ingénierie du contrôle : Observateurs d'état et filtre de Kalman linéaire

Un robot accède rarement directement à l'état dont il a besoin. Un encodeur peut fournir la position mais pas la vitesse ; une centrale inertielle (IMU) fournit l'accélération et la vitesse angulaire avec un biais ; la localisation par caméra arrive tardivement ou disparaît. Un observateur d'état utilise un modèle du système et l'écart entre la sortie prédite et la sortie mesurée pour estimer l'état caché. Le filtre de Kalman linéaire (KF) est l'observateur standard qui intègre une matrice de covariance d'erreur et utilise le bruit de processus et de mesure supposé pour déterminer le degré de fiabilité entre la prédiction et la mesure.

L'idée clé n'est pas de « moyenner les capteurs ». Il s'agit de préciser le temps physique que représente une donnée, le modèle d'erreur supposé et le comportement en cas de divergence entre les capteurs. Un estimateur manifestement erroné oriente les régulateurs PID, LQR et MPC vers une solution inadaptée. Pour les limites de synchronisation et d'exécution de ROS 2, consultez ROS 2 Primer ; pour une intégration plus large des capteurs, consultez Sensor Fusion Primer.

Conclusion pratique

• Un observateur met à jour \hat{x} à partir des prédictions du modèle et des innovations. Un état inobservable ne peut être reconstruit de manière unique par la simple sélection d'un filtre plus performant.

• Le filtre de Kalman (KF) intègre la covariance d'erreur d'état P et utilise la covariance de processus Q et la covariance de mesure R pour calculer le gain de Kalman K.

• Les valeurs Q,R correspondent à des hypothèses sur les erreurs du modèle et des capteurs, et non à des « paramètres de précision » arbitraires. Il convient de les valider à l'aide des innovations, de la covariance, des horodatages et des données de défauts.

• Si une estimation est obsolète, si la covariance est excessive, si l'innovation est anormale ou si les transformations échouent, il faut transmettre un état dégradé afin de contrôler et de réduire, voire d'arrêter, le mouvement en fonction du danger.

Observateur d'état et observabilité

Pour un système linéaire discret :

x représente l'état réel, u l'entrée connue, z la mesure, w la perturbation du processus et v le bruit de mesure. Un observateur de Luenberger a la forme suivante :

Le dernier terme est l'innovation. Un gain d'observateur élevé L suit rapidement la mesure mais transmet davantage de bruit ; un gain faible L fait davantage confiance au modèle mais corrige les perturbations lentement.

Schéma : Duskcoil, conceptuel plutôt que mesuré. L’estimation et la covariance sont des quantités internes au modèle, et non des observations directes du capteur.

La matrice d’observabilité \mathcal O=[C^T,(CA)^T,\ldots]^T doit être de rang maximal pour reconstruire chaque état dans le cas linéaire idéal. Les mesures de position uniquement d’un double intégrateur permettent d’observer la vitesse. L'historique temporel est analysé, mais la fréquence d'échantillonnage, la quantification, le délai et le taux de dropout déterminent l'utilité de l'estimation résultante. « Observable » ne saurait se substituer à une exigence de latence et de précision maximales.

Prédiction et mise à jour de Kalman

En supposant des distributions gaussiennes blanches de moyenne nulle w\sim\mathcal N(0,Q) et v\sim\mathcal N(0,R), la distribution a priori est :

P représente l'incertitude de l'erreur d'estimation, et non simplement la variance de l'état. Lors d'une interruption de mesure, la propagation du modèle entraîne généralement une croissance de P^- à travers Q.

Pour une mesure entrante, calculer l'innovation \nu_k=z_k-C\hat{x}_k^- et sa covariance

puis mettre à jour avec :

Une précision finie peut nuire à la symétrie ou à la positivité. Semi-définie de P. La forme de Joseph, P^+=(I-KC)P^-(I-KC)^T+KRK^T, est souvent privilégiée ; la résolution de systèmes linéaires factorisés est souvent plus sûre que la construction explicite d'une inverse. La matrice de covariance P doit être vérifiée après chaque mise à jour.

Choix de Q et R

R doit refléter l'erreur mesurée dans les conditions réelles de vibration, de température, d'éclairage, de portée, de retransmission de paquets et de quantification, et non pas seulement une valeur de précision du catalogue. Q représente la marge d'erreur admissible du modèle sur une période : accélération inconnue, marche aléatoire du biais, variation de la charge utile ou dynamique non modélisée. Une valeur trop faible de Q indique une confiance excessive dans le modèle ; une valeur trop élevée de Q reflète des mesures bruitées.

Exemple numérique : estimation de la vitesse à partir de mesures de position

Pour un état unidimensionnel à vitesse constante x=[p\ v]^T avec une période d'échantillonnage T ,

Seule la position est mesurée. Prenons comme exemple concret de mise à jour sans unité : T=1 , \hat{x}^-=[0\ 0]^T , P^-=[[2,1],[1,1]] , z=1 , R=1 , et C=[1\ 0] . Alors S=3 , K=[2/3\ 1/3]^T , et \hat{x}^+=[2/3\ 1/3]^T ; la covariance a posteriori est P^+=(I-KC)P^-=[[2/3,1/3],[1/3,2/3]] . Ceci illustre une mise à jour et ne constitue pas une affirmation quant à la précision du capteur. Une valeur initiale élevée de P_{vv} exprime l’incertitude concernant la vitesse. Des innovations de position répétées permettent d’estimer la vitesse \hat v ; une interruption du signal maintient la prédiction en cours, mais augmente son incertitude. Un contrôleur nécessitant la vitesse doit vérifier P_{vv}, l'âge de la mesure et l'état résiduel, puis ralentir ou s'arrêter lorsqu'ils dépassent l'enveloppe définie.

L'ajout d'une centrale inertielle (IMU) permet de suivre l'accélération à court terme, mais l'omission du biais d'état entraîne l'accumulation d'erreurs d'intégration. Les observations par caméra ou LiDAR peuvent contraindre la position absolue lorsqu'elles sont rattachées à une carte, un marqueur ou une autre référence connue ; le suivi relatif seul ne garantit pas la position globale. Le GNSS est également conditionné par la visibilité des satellites, les trajets multiples, la fréquence de mise à jour, la latence et l'alignement des repères. Pour les observations non linéaires d'attitude ou de distance, les filtres EKF ou UKF peuvent être utilisés, mais les problèmes liés au filtre de Kalman linéaire (KF) concernant Q,R, la covariance de la mesure R, le temps, les valeurs aberrantes et l'observabilité persistent.

Le carré de l'innovation normalisée \nu^TS^{-1}\nu permet de détecter une mesure incohérente avec sa distribution prédite. Une valeur élevée peut indiquer une valeur aberrante, un repère incorrect, une erreur d'horodatage, un défaut de capteur ou une inadéquation du modèle. Le contrôle d'une donnée n'est pas une Dispositif de masquage des erreurs : il doit fournir des informations de diagnostic et un mode dégradé sécurisé.

IMU/INS représentative

Caméra de profondeur représentative

Images : Xsens MTi-G (Kallap85, CC BY-SA 4.0) et Intel RealSense D435 (Marc Auledas, CC BY-SA) 4.0), Wikimedia Commons. Ce sont des capteurs représentatifs, et non des données de mesure ou un système combiné recommandé.

Fourniture des commandes PID, LQR et MPC

La commande PID peut utiliser une rétroaction filtrée brute, mais son terme dérivé et une boucle de vitesse interne bénéficient souvent d'une estimation. La commande LQR suppose un fonctionnement multi-états ; sous les conditions du principe de séparation, un gain LQR et un estimateur de Kalman forment une architecture LQG. La saturation, le délai et la non-linéarité peuvent néanmoins compromettre la robustesse en conditions réelles. La commande MPC dépend également d'une estimation rapide de l'état initial et des perturbations ; optimiser à partir d'une estimation obsolète ou d'une covariance faussement faible aboutit à un plan bien conçu mais inadapté.

Synchronisation du robot et fonctionnement à sécurité intégrée

Dans ROS 2, il est essentiel de distinguer le temps de mesure du temps d'arrivée des messages. Mettre à jour l'état actuel avec une donnée caméra tardive comme s'il s'agissait de l'état actuel ramène le robot vers son passé. Choisissez et documentez une politique : rembobiner/repropager l'historique, rejeter les données retardées ou séparer l'odométrie de bas niveau des corrections cartographiques plus lentes. Les transformations de transport et de coordonnées de ROS 2 décrites dans ROS 2 Primer et Sensor Fusion Primer sont des préconditions externes aux équations de filtrage.

Surveillez le délai d'expiration, les plafonds de covariance, les échecs répétés des portes d'innovation, le biais divergent et l'indisponibilité. Transformations et dépassements d'échéance. Si toutes les mesures disparaissent, ne pas poursuivre indéfiniment le processus en se basant uniquement sur les prédictions. Sélectionner la limitation de vitesse, l'arrêt, la redondance ou le transfert d'un opérateur en fonction de l'application. La réinitialisation de l'estimateur peut entraîner un changement d'état brutal ; les références du contrôleur, les états intégraux et les sorties doivent donc être gérés sans à-coups.

Liste de contrôle d'implémentation

1. Définir l'état, la mesure, l'entrée, la trame, le temps de mesure et le temps de réception.

2. Quantifier l'observabilité, la précision requise et la latence maximale pour chaque état.

3. Consigner les preuves de Q,R,P_0 à partir des spécifications, des données et des tests.

4. Surveiller la symétrie/définition de P, l'innovation, les portes et le délai d'expiration.

5. Injecter des cas de déconnexion, de valeur aberrante, de relocalisation et de changement de biais.

6. Définir ce que le PID/LQR/MPC reçoit lorsque la qualité de l'estimation se dégrade et vérifier les mesures de sécurité indépendantes.

Références

• [Kalman, 1960 : Une nouvelle approche de Problèmes de filtrage linéaire et de prédiction

• Robotique sous-actionnée du MIT : LQR

• Introduction à ROS 2, Introduction à la fusion de capteurs